Comenzó a estudiar Ingeniería y Arquitectura, que entonces compartían asignaturas hasta que el alumnado debía decantarse por la especialización en una u otra rama. Antonio confesó en alguna ocasión que echó a suertes la elección y, aunque su familia habría preferido que se especializase en Ingeniería, estaba contento de haber escogido Arquitectura. Durante sus estudios recibió la influencia de arquitectos como Viollet-le-Duc, Otto Wagner y Ricardo Velázquez Bosco, quien fue profesor de Palacios, junto a otro de sus grandes referentes, Manuel Aníbal Álvarez.

En 1900 finalizó sus estudios en Arquitectura con un proyecto final que recibió la calificación más alta y entró a trabajar en el estudio de su antiguo profesor, Ricardo Velázquez Bosco, hasta 1902. Poco después fue nombrado vocal de la Sección de Arquitectura del Círculo de Bellas Artes y empezó a trabajar junto a su amigo y compañero de facultad, Joaquín Otamendi. La familia Otamendi estaba bien posicionada socialmente, eran conocidos por ocupar puestos de relevancia como ingenieros y financieros. Mientras trabajaron juntos, y también más adelante, Joaquín proporcionó a Palacios interesantes contactos entre la burguesía madrileña.

Tan solo un año después los arquitectos recibieron la noticia de que su propuesta para el Palacio de Comunicaciones había sido la ganadora. Desde ese momento, los jóvenes arquitectos experimentaron un auge que los llevó a realizar diferentes proyectos en Madrid, pero también en la Galicia natal de Palacios. Mientras Antonio era elegido miembro del jurado de la Sección de Arquitectura de la Exposición Nacional de Bellas Artes, Otamendi y él recibían varios encargos, algunos tan emblemáticos como el Hospital de Maudes o los talleres del Instituto Católico de Artes e Industrias, ambos en Madrid.

Desde 1904 Antonio había trabajado como profesor interino en la Escuela de Arquitectura de Madrid, dando clase en las asignaturas de Modelado, Detalles Arquitectónicos y Detalles Decorativos. Gracias a esta actividad, viajó en 1911 a Egipto, destino que tuvo un gran impacto en su actividad profesional. En 1916, Palacios se presentó a las oposiciones para la plaza de profesor numerario de Proyectos de Detalles Arquitectónicos y Decorativos, en la que compitió directamente con Teodoro Anasagasti. Ambos arquitectos empataron y finalmente la plaza fue declarada desierta. Este hecho desanimó a Palacios a continuar en la docencia y no volvió a dar clase.

El Banco del Río de la Plata aprobó en 1910 el proyecto de Palacios y Otamendi para su sucursal de Madrid, en la calle Alcalá. Ese mismo año, Palacios y Otamendi fueron nombrados funcionarios del nuevo negociado de Arquitectura y Urbanismo del Ministerio de Fomento y Antonio se convirtió en presidente de la Sección de Arquitectos del Círculo de Bellas Artes; desde este cargo participó en la búsqueda y elección de una nueva ubicación para la sede de la institución y también en la organización de la Primera Exposición Nacional de Arte Decorativo, en el Parque del Retiro, para la que diseñó una fuente que se colocó en el interior del pabellón.

Para 1912 continuaban los reconocimientos al joven arquitecto Palacios y fue nombrado presidente de la Sociedad Central de Arquitectura. Unos años más tarde, arrancaron las obras del Metropolitano de Alfonso XIII, hoy conocido como “Metro Madrid”, y Palacios y Otamendi fueron nombrados arquitectos de la compañía. Antonio colaboró con el Metropolitano durante casi veinticinco años e intervino en la construcción de las líneas 1, 2, 3 y 4 y sus edificios auxiliares.

Así, podemos entender la versatilidad del arquitecto al encontrar una imponente monumentalidad en edificios como el Palacio de Cibeles o el Banco del Río de la Plata; modernidad y presencia urbana en el Círculo de Bellas Artes o en la Casa Comercial Palazuelo; elegancia y funcionalidad en los edificios de viviendas para alquilar o sencillez y organización en sus arquitecturas industriales. En este sentido, el arquitecto afirmaba en una entrevista en 1943, casi al final de su vida: «Cada edificio requiere formas adecuadas y procedimientos constructivos propios. Sin embargo, una mirada no muy torpe descubrirá fácilmente en edificios muy distintos la mano del mismo arquitecto; lo que yo, gráficamente, llamo las huellas dactilares».

Por otro lado, la decoración interior y exterior en los proyectos de Palacios es una perfecta banda sonora que acompaña discretamente sus arquitecturas y las subraya sin restarles protagonismo. El uso de las propias estructuras para colocar los ornamentos produce una sensación de pulcritud, especialmente apreciada en sus edificios industriales, pero también en los proyectos residenciales.